Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  • Не имеют корней;
  • Имеют ровно один корень;
  • Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь —дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.Тогда дискриминант — это просто числоD = b² - 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  • Если D < 0, корней нет;
  • Если D = 0, есть ровно один корень;
  • Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
х² - 8x + 12 = 0;
5x² + 3x + 7 = 0;
х² - 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8)² - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² - 4 · 5 · 7 = 9 - 140 = -131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6)² - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один. Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество. Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}; \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a};$$

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:
х² - 2x - 3 = 0;
15 - 2x - x² = 0;
х² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
х² - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2)² - 4 · 1 · (-3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

$$ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 * 1} = 3;$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 * 1} = -1;$$

Второе уравнение:
15 - 2x – x² = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2)² - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

$$ x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 * (-1)} = -5;$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 * (-1)} = 3;$$

Наконец, третье уравнение:
х² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

$$ x = \frac{-12 + \sqrt{0}}{2 * 1} = -6;$$

Или запомнить, когда D = 0 ⇒ уравнение имеет корень:

$$ x = \frac{-b}{2a};$$

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.