Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  • x² + 9x = 0;
  • x² - 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0,т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает видax^2 = 0.Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

$$ax^2 + c = 0 \implies x^2 = -\frac{c}{a} \implies x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$$

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при\(-\frac{c}{a} \geq 0\). Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство\(-\frac{c}{a} \geq 0\), корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же\(-\frac{c}{a} < 0\), корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство\(-\frac{c}{a} \geq 0\). Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

$$ax^2 + bx = 0 \implies x(ax + b) = 0 \implies x_1 = 0; x_2 = -\frac{b}{a}$$

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:
x² - 7x = 0; ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x^2 = -(-7)/1 = 7.
5x² + 30 = 0; ⇒ 5x² = -30 ⇒ x^2 = -6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x² - 9 = 0. ⇒ 4x² = 9 ⇒ x^2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x^2 = -1,5.