Метод выделения полного квадрата

Определение Выделением полного квадрата из квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\)называется процедура, в результате которой трёхчлен приводится к виду \(a(x-x_0)^2 + y_0\), где \(x_0\) и \(y_0\) некоторые вещественные числа.

Таким образом, при выделении полного квадрата необходимо понять, чему равны \(x_0\) и \(y_0\), при которых выполняется равенство$$ax^2 + bx + c = a(x-x_0)^2 + y_0$$

Выделение полного квадрата основывается на формулах квадрата суммы и квадрата разности:$$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $$$$ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $$

Самым сложным при выделении полного квадрата из квадратного трёхчлена\(ax^2 + bx + c\)бывает понять, какое число нужно прибавить и отнять, чтобы выделить квадрат суммы или квадрат разности. Рассмотрим эту процедуру на примере.

Пример 1. Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена \(x^2 - 6x + 8\)
Решение. Заметим, что \(6x = 2 * 3 * x\) и в выражении \(x^2 - 6x\) не хватает слагаемого \(3^2\), чтобы записать квадрат разности: \(x^2 - 6x + 3^2 = (x - 3)^2\). Тогда к исходному квадратному трёхчлену добавим \(3^2 = 9\) и, чтобы получить равное выражение, отнимем 9, после чего выделим квадрат разности \((x - 3)^2\) и суммируем оставшиеся подобные слагаемые (в данном случае числа):$$ x^2 - 6x + 8 = x^2 - 2 * x * 3 + 9 - 9 + 8 = (x - 3)^2 - 1 $$Таким образом, привели квадратный трёхчлен \(x^2 - 6x + 8\)к виду \(a(x-x_0)^2 + y_0\), где \(a = 1\), \(x_0 = 3\) и \(y_0 = -1\). Выделение полного квадрата бывает полезным при решении квадратных уравнений.