Теорема Виета

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида \(x^2 + bx + c = 0\) называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при \(x^2\) равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

Примеры:
1. \(x^2 + 7x + 12 = 0\) — приведенное квадратное уравнение;
2. \(x^2 − 5x + 6 = 0\) — приведенное;
3. \(2x^2 − 6x + 8 = 0\) — неприведенное, поскольку коэффициент при \(x^2\) равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\) можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0. Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:
1. \(3x^2 − 12x + 18 = 0;\)
2. \(−4x^2 + 32x + 16 = 0;\)
3. \(1,5x^2 + 7,5x + 3 = 0;\)
4. \(2x^2 + 7x − 11 = 0.\)

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной \(x^2.\) Получим:
1. \(3x^2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x^2 − 4x + 6 = 0\) — разделили все на 3;
2. \(−4x^2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x^2 − 8x − 4 = 0\) — разделили на −4;
3. \(1,5x^2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x^2 + 5x + 2 = 0\) — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
4. \(2x^2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x^2 + 3,5x − 5,5 = 0\) — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби. Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида \(x^2 + bx + c = 0.\) Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x1 и x^2. В этом случае верны следующие утверждения:
1. \(x_1 + x_2 = −b.\)
Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
2. \(x_1 · x_2 = c.\)
Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:
1. \(x^2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x_1 + x_2 = − (−9) = 9; x_1 · x^2 = 20; корни: x_1 = 4; x_2 = 5;\)
2. \(x^2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x_1 + x_2 = −2; x_1 · x_2 = −15; корни: x_1 = 3; x_2 = −5;\)
3. \(x^2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x_1 + x_2 = −5; x_1 · x_2 = 4; корни: x_1 = −1; x_2 = −4.\)
Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Следствие 1. Если в приведенном квадратном уравнении вида \(x^2 + bx + c = 0 \)коэффициент c > 0, то корни \(x_1 и x_2\) имеют одинаковый знак. И наоборот, если коэффициент c < 0, корни \(x_1 и x_2 \)будут разных знаков.
Следствие 2. Если в том же уравнении \(x_1 + x_2 = −b > 0 \)(т.е. сумма корней положительна), то возможны 2 варианта: либо оба корня положительны, либо модуль положительного корня больше модуля отрицательного. И наоборот, если \(x_1 + x_2 = −b < 0\) (т.е. сумма корней отрицательна), то опять же есть 2 варианта: либо все корни отрицательны, либо модуль положительного корня меньше модуля отрицательного.